Voir le sujet

Contexte, motivations : Les ondes de pression se propageant dans les tubes rigides ou élastiques présentent le même phénoménologie connue depuis près d’un siècle : des ondes de chocs peuvent se produire, se propager et être responsables de dégradation. Dans les réseaux de distribution hydrauliques ces ondes sont appelés ondes de « coup de bélier » (water-hammer waves en anglais) alors que dans le domaine biomécanique on parle plutôt d’onde pulsées (pulsed waves en anglais) [1]. Ces ondes sont dangereuses car , lorsqu’elles sont de grande amplitude, elles peuvent parfois endommager les installations. C’est pourquoi il est important de pouvoir anticiper leur impact. Cependant, cette prédiction est complexe. Lorsque ces ondes se propagent dans de grand réseaux, leurs multiples rebonds et interactions aux nœuds du graphe associée à la dynamique de leur transmission nécessiste des méthodes numériques spécifiques pour être fidèlement prédites. L’état de l’art dans le domaine est la méthode des caractéristiques (MOC en anglais) qui permet une assez bonne prise en compte des réfléxions multiples pour des ondes non dispersives (dont la vitesse ne dépends pas de la fréquence). Cependant cette méthode présente différentes limites, et dans la pratique n’est plus véritablement possible lorsque le réseau présente plus d’un millier de nœuds. Or les réseaux de distribution d’eau potable dans une ville moyenne comme Toulouse présentent 25000 nœuds, et dans les grande villes quelques millions. Objectif : Le but de ce stage est de travailler sur le développement d’une nouvelle méthode basée sur un travail récent [2]. Cette nouvelle méthode utilise la base des fonctions propres de l’opérateur Laplacien continu sur le graphe (quantum graph) pour décomposer la solution sous une forme quasi-analytique et spectrale. Le but du stage est de développer un code python permettant de calculer numériquement le spectre discret de ses solutions quasi-analytiques, à partir du calcul du déterminant de la matrice de sécularité du problème.

Programme de recherche : un algorithme est déjà élaboré pour le calcul numérique du déterminant à partir d’une méthode de Newton. Le programme de travail consiste à programmer cet algorithme et notament le calcul du gradient du déterminant, et démontrer numériquement la complexité prédite de l’algorithme. Le travail sera effectué en python pour produire un code « proof of concept ».

Bibliographie

• Plouraboué, Review on water-hammer waves mechanical and theoretical foundations, European Journal of Mechanics-B/Fluids, 108, 237-271, (2024).
• Plouraboué, Quantum graph waves external triggering : energy transfer and damping, Phys. Rev. E., 109, 5, 054310, (2024).

Durée / période : 5-6 mois 

Lieu du stage IMFT

Candidature [CV, lettre de motivation, références] à envoyer à :

• Plouraboué Franck