Étude des instabilités de sillage, de forme et de trajectoire de bulles par une approche de stabilité linéaire globale

Soutenance de thèse Paul Bonnefis

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Mardi 12 mars – Amphithéâtre Nougaro

Résumé :

Ce travail porte sur le couplage des déformations d’une bulle avec son sillage et sa trajectoire dans plusieurs configurations. Un formalisme de type eulérien-lagrangien permet d’écrire le problème sur un domaine mouvant faiblement déformé par rapport à la configuration de référence. Grâce à cette approche, il est possible d’étudier dans un cadre linéaire le couplage entre les déformations d’une bulle et les effets hydrodynamiques. En appliquant ce formalisme, on peut dans un premier temps calculer l’écoulement de base autour de la bulle et sa géométrie d’équilibre, et dans un second temps développer une approche de stabilité globale prédisant les seuils d’instabilité et les propriétés des modes d’oscillation. Afin de développer cette méthode, des résultats sur les oscillations linéaires de bulles et de gouttes dans un fluide au repos et sans influence de la gravité sont tout d’abord présentés et comparés à des résultats théoriques existants. Puis, le principe du formalisme eulérien-lagrangien est illustré en prenant pour problème modèle l’équation de la chaleur formulée sur un domaine arbitrairement déformé.
Ce principe est ensuite appliqué aux équations de Navier-Stokes, aboutissant à une version linéarisée autour d’un domaine de référence incluant de manière complète les couplages entre déformations de la géométrie et perturbations de l’écoulement. On met en œuvre sur le système obtenu une méthode itérative de Newton donnant accès à l’état de base, c’est-à-dire à l’écoulement stationnaire autour de la bulle et à sa forme d’équilibre. Ce même système permet par la suite d’effectuer une analyse de stabilité globale de l’écoulement autour d’une bulle qui se déforme. L’algorithme développé est d’abord appliqué au cas d’une bulle piégée dans un écoulement d’étirement, permettant de décrire des formes d’équilibre dans des régimes stables et instables. Le cas de la bulle en ascension dans un fluide pur est ensuite abordé. Une étude paramétrique est conduite, couvrant une vaste gamme de liquides allant de l’eau pure à des huiles de silicone très visqueuses. Les états de base calculés par la méthode de Newton ainsi que les seuils d’instabilité des sillages sont en bon accord avec les résultats expérimentaux. Dans les cas des liquides très peu visqueux, notre approche décrit de manière plus précise les effets visqueux dans les couches limites et donne des résultats plus satisfaisants que les approches numériques existantes. Elle confirme par ailleurs que la déformation de la bulle joue un rôle mineur dans ces gammes de paramètres. Pour les liquides plus visqueux en revanche, on observe un couplage plus fort entre déformation et sillage.

Mots-clés : Bulles, stabilité globale, déformation d’interface, éléments finis, formulation eulérienne-lagrangienne

Abstract :

 

Newton method that provides the steady state, i.e. the base flow around the bubble and its geometry. The same system allows us to carry out a global stability analysis of the flow past a deformable bubble.
We first consider the situation where the bubble is trapped in a straining flow, for which we compute stable and unstable equilibrium shapes. We finally tackle the case of a buoyancy-driven bubble rising in a pure liquid. A parametric study is carried out over a wide range of liquids, from pure water to high-viscosity silicon oils. Steady states computed with the Newton method and instability thresholds are
found to be in good agreement with experimental observations. For low-viscosity fluids, our approach captures the viscous effects that take place in the boundary layer better than existing computational approaches, yielding predictions for the onset of path instability in better agreemnt with observations. Furthermore, it confirms that time-dependent bubble deformations play a minor part for such liquids. In contrast, a stronger coupling between shape and path instabilities is observed in high-viscosity fluids.

Key-words : Bubbles, global stability, interface deformation, finite elements, eulerian-lagrangian formalism