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Instabilités, Optimisation et Contrôle

1. Amplification de streaks optimaux laminaires et turbulents : dynamique et applications au contrôle passif

Nos activités au sujet de la dynamique des streaks et de leur utilisation à des fins de contrôle sont associées à l’arrivée de Carlo Cossu dans le groupe fin 2009 et ont été développées en étroite collaboration académique avec le LadHyx (École polytechnique, Palaiseau), le KTH (Stockholm, Suède) et industrielle avec Peugeot-Citroën Automobiles (PSA, centre de recherches de Vélizy).

Les streaks sont des régions alternées d’excès et de déficit de vitesse qui sont étendues dans la région de l’écoulement proche paroi. Ces structures sont omniprésentes dans les écoulements turbulents avec des échelles qui vont d’une centaine d’unités de paroi aux plus grandes échelles de l’écoulement. Dans le cas laminaire, il y a un large consensus sur le fait que les streaks surgissent naturellement dans les écoulements cisaillés de paroi grâce à des mécanismes d’amplification non-modale. Les perturbations optimales qui engendrent une très large amplification des streaks sont des tourbillons longitudinaux.

En collaboration avec les collègues du KTH nous nous sommes intéressés au rôle des streaks dans la transition laminaire-turbulent. On sait que les streaks deviennent instables lorsque leur amplitude excède une amplitude cri- tique de l’ordre de 25% de la variation maximale de vitesse de l’écoulement de base. Or, dans de nombreuses situations, la destruction de streaks et la transition sous-critique associée sont observées à des amplitudes de streak inférieures à l’amplitude critique. Nous avons interprété ces observations en nous appuyant sur la nature sous-critique de l’instabilité sinueuse de streaks et montré notamment que des streaks ayant la moitié de l’amplitude critique peuvent être désta- bilisés par de très petites perturbations transverses, dont l’amplitude est de l’ordre de 4% de la vitesse de référence (Cossu et al. 2011). Ceci implique que la simple mesure de l’amplitude de streaks n’est souvent pas suffisante pour prédire la transition sous-critique.

Un deuxième volet de nos recherches concerne l’étude des mécanismes d’amplification non-modale d’énergie de structures cohérentes dans les écoulements turbulents. Nos études prédisaient l’existence de croissances temporelles transitoires d’énergie dans des écoulements turbulents canoniques de chenal plan et de couche limite. Les structures les plus amplifiées sont uniformes dans la direction de l’écoulement et deux longueurs d’onde transverse optimales \lambda_z pour l’amplification d’énergie sont trouvées. La première valeur optimale est \lambda_z^+\approx 100 et correspond à des amplifi- cations d’énergie relativement faibles et indépendantes du nombre de Reynolds. Les perturbations optimales associées se mettent à l’échelle aussi en unités de paroi et correspondent bien aux streaks observés en proche paroi. La deux- ième longueur d’onde optimale est associée à des amplifications d’énergie plus importantes, qui augmentent avec le nombre de Reynolds, et se met à l’échelle unités externes tout comme les perturbations optimales associées. Ces per- turbations correspondent à des très grandes structures ayant une amplitude non négligeable dans toute l’épaisseur de l’écoulement.

En collaboration avec Grégory Pujals (LadHyX et PSA) et Sébastien Depardon (PSA) nous avons vérifié expérimentale- ment l’existence de croissances transitoires d’énergie aux grandes échelles dans une couche limite turbulente en les forçant grâce à une rangée transverse de petits cylindres. Nos mesures dans les souffleries de Peugeot-Citroën Automo- biles montrent effectivement une amplification spatiale de streaks moyens dans une couche limite turbulente (Pujals et al. 2010a). En collaboration avec Yongyun Hwang (LadHyX) nous avons ensuite étendu cette approche au calcul des réponses optimales au forçage harmonique et des réponses au forçage stochastique dans les écoulements turbulents de de Couette plan (Hwang & Cossu 2010a) et de chenal plan (Hwang & Cossu 2010b). Nous avons pu, notamment, prédire et vérifier que pour des structures auto-similaires de couche logarithmique ces amplifications sont proportionnelles à \beta^{-2}, \beta^{-1} \mbox{et} \beta^0 pour la réponse au forçage harmonique, stochastique et à une condition initiale optimaux (\beta étant le nombre d’onde transverse des perturbations).

L’existence de grandes amplifications non-modales d’énergie de structures cohérentes à grande échelle suggère que ces structures peuvent participer à des cycles auto-entretenus à grande et à moyenne échelle. Les structures à grande échelle, constituées de streaks et tourbillons cohérents, possèdent plus de la moitié de l’énergie cinétique turbulente et sont responsables de plus de la moitié des contraintes de Reynolds turbulentes. Une question fondamentale est celle de l’origine de ces structures. La vision actuellement en vogue est que les structures à très grande échelle sont con- stituées de la concaténation de structures à grande échelle qui, à leur tour, sont formées par l’agrégation d’un grand nombre de hairpin vortices de petite échelle engendrés dans la couche tampon. Toutefois, nos travaux sur les ampli- fications optimales d’énergie dans les écoulements turbulents montrent bien que les structures à grande échelle sont en mesure d’extraire directement de l’énergie à l’écoulement moyen par amplification non-normale et sans la néces- sité de la médiation de structures à plus petite échelle. Il est donc tentant de penser que des mécanismes turbulents auto-entretenus, semblables à ceux mis en évidence en proche paroi, existent aussi aux grandes échelles. Nous nous sommes attachés à démontrer que ceci est effectivement le cas, en deux étapes distinctes. Avec Junho Park et Yongyun Hwang (LadHyX) nous avons initialement calculé l’amplitude critique de streaks turbulents à grande échelle et montré que cette-ci peut être inférieure à celle des streaks laminaires (Park et al. 2011). Quand l’amplitude des streaks est suffisamment élevée les instabilités atteignent des taux d’amplification significatifs dans une bande de longueurs d’onde qui est en bon accord avec les longueurs d’onde typiques observées en région externe. Avec Yongyun Hwang nous avons ensuite montré qu’en étouffant artificiellement les structures à petite échelle dans un écoulement turbulent pleinement développé, les structures à grande échelle peuvent survivre de façon autonome (Hwang & Cossu 2010b) et que donc un mécanisme autonome turbulent existe à grande échelle, contrairement au point de vue actuellement dominant dans la communauté. Ces résultats ont été ensuite étendus aux structures aux échelles intermédiaires caractéristiques de la couche logarithmique (Hwang & Cossu 2011).

Ayant pu démontrer que des streaks cohérents à grande échelle de grande amplitude peuvent être efficacement forcés
à partir de tourbillons cohérents, nous nous sommes tournés vers les applications au contrôle. Dans un nombre important d’applications industrielles il est utile, pour des raisons évidentes, de réduire la traînée turbulente. Cette traînée peut être due au frottement visqueux ou être une traînée “de pression” due à des décollements de l’écoulement. Nous avons démontré que le forçage de streaks cohérents à grande échelle peut servir à réduire ces deux types de traînée. En ce qui concerne la traînée visqueuse turbulente, nous avons considéré, en collaboration avec Ashley Willis et Yongyun Hwang (LadHyX), l’écoulement turbulent pleinement développé dans une conduite à section circulaire (Hagen-Poiseuille). Pour cet écoulement nous avons calculé le forçage stationnaire optimal, qui consiste dans des tourbillons à grande échelle de mode azimutal m = 1. Ce forçage optimal a été ensuite appliqué à l’écoulement dans une simulation numérique directe de l’écoulement turbulent, où il a été observé le développement de streaks cohérents à grande échelle. La présence de ces streaks permet de réduire la traînée, par la modification à grande échelle, des structures de paroi, qui elles, sont
à petite échelle. Des réductions importantes de traînée sont réalisables avec cette technique, comme déjà anticipé par des études antérieures en canal plan. La nouveauté provient du fait que, le forçage étant optimal, il consomme seulement 1-2% de la puissance de traînée, et donc des réductions nettes de l’ordre de 10% peuvent être obtenues (Willis et al. 2010).. Pour ce qui est de la traînée de pression nous avons considéré la traînée additionnelle induite par la séparation turbulente sur la lunette arrière d’un corps d’Ahmed, d’intérêt dans les applications en aérodynamique automobile. Nos mesures dans des souffleries de Peugeot-Citroën Automobiles montrent qu’en forçant des streaks sur le pavillon, avec des éléments de rugosité placés suffisamment en amont, il est possible de supprimer le décollement sur la lunette arrière et réduire la traînée totale d’environ 10% (Pujals et al. 2010b). Il est important de souligner que dans cette technique seulement des streaks (vorticité verticale) et virtuellement aucun tourbillon longitudinal (vorticité longitudinale) sont présents au point de contrôle (l’arête séparant le pavillon du culot). Les mécanismes à la base de notre protocole de contrôle sont donc substantiellement différents de ceux des “vortex generators” basés sur une forte vorticité longitudinale.

Nos recherches les plus récentes, développées en collaboration avec PSA, ont permis d’étendre aux sillages de corps épais l’approche qui avait été appliquée aux écoulements cisaillés de paroi. Le sillages de corps épais sont le siège d’oscillations auto-entretenues dont l’apparition est associée à une instabilité globale soutenue par une région d’insta- bilité absolue dans le sillage proche. Nous avons initialement montré (Del Guercio et al. 2014a) que les sillages parallèles peuvent être le siège d’importantes amplifications temporelles transitoires d’énergie. Le perturbations uniformes lon- gitudinales les plus amplifiées sont des streaks. Le forçage artificiel de ces streaks par des tourbillons optimaux permet de stabiliser, voir de complètement supprimer l’instabilité absolue du sillage. Ces résultats ont ensuite été étendus (Del Guercio et al. 2014b) à des sillages synthétiques faiblement non-parallèles. Une technique ad-hoc mais basée sur de méthodes classiques d’optimisation (Cossu 2014) a été utilisée pour montrer que les streaks sont aussi les perturbations les plus amplifiées spatialement et qu’ils ont un effet stabilisant sur l’instabilité globale des sillages considérés. Ces conclusions ont été enfin étendues au cas du sillage en aval d’un cylindre circulaire (Del Guercio et al. 2014c). Dans ce cas, plus proche des applications, les perturbations sont forcées par du soufflage-aspiration à la paroi, ce qui pose une limitation supplémentaire au type de perturbations qui peuvent être forcées. Nous sommes surpris de constater que même dans ce cas, des streaks longitudinaux d’amplitude modérée peuvent être forcés avec très peu d’énergie, si le soufflage à la paroi est optimal. Ceci permet de supprimer l’instabilité globale avec des niveaux très faibles d’énergie injectée. Un résultat accessoire de ces études est de montrer que le contrôle 3D par perturbations optimales est beau- coup plus efficace que des contrôles 2D standards et ceci contrairement aux prévisions des analyses de sensibilité au premier ordre, qui sont celles aujourd’hui les plus utilisées pour estimer l’efficacité du contrôle.

2. Instabilité, sensibilité, optimisation et contrôle en aérodynamique et aéroacoustique

L’activité contrôle des écoulements et des instabilités modales ou non modales, démarrée en 1998 avec A. Bottaro n’a jamais cessé de se développer. Durant ces dernières années nous avons progressivement basculé du contrôle optimal en boucle ouverte (codes de stabilité direct et adjoint + algorithmes d’optimisation) à l’application de la théorie du contrôle sur des modèles réduits conçus à partir de simulations numériques directes d’ordre élevées et de grandes dimensions. Les applications passées ont été très variées, en passant de la couche limite laminaire instable aux écoulements de Hartmann en magnéto-hydrodynamique, et maintenant au contrôle des écoulements compressibles et plus particulièrement des perturbations de pression en vue de réduire les émissions aéroacoustiques. La configuration générique est depuis quelques années l’écoulement autour d’une cavité ouverte (projet européen AeroTraNet 1, ANR Cormored, FRAE Ecosea).

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FIGURE 6 (gauche) – Coefficient de pression en deux points, proche et éloignée de la cavité, avant et après contrôle ; FIGURE 7 (droite) – Différence en SPL (décibels) entre l’écoulement non contrôlé et contrôlé par une loi feedback à retour de sortie (right).

Durant la période considérée, une chaîne de calcul complexe a été bâtie, chaque élément faisant appel à des théories ou méthodologies différentes (rapport Ecosea, Airiau et Cordier, 2013, Nagarajan et al, 2013). La base est constituée de simulations numériques résolvant les équations directes (DNS) et adjointes des équations de Navier-Stokes compressibles 2D (ADNS). Des études de sensibilités du bruit émis par l’écoulement à toute perturbation ont été menées (thèse Moret, AeroTraNet 1, Cormored). Cela a permis d’expliquer par la simulation des résultats trouvés expérimentalement sur des écoulements incompressibles de cavité. Ainsi l’écoulement mais également le son est très sensible à des forçages près des parois du coin amont de la cavité où des modes adjoints sont très concentrés dans la couche limite, alors qu’à l’opposé la source du son provient de l’impact sur le coin aval de la couche de cisaillement issu de ce coin amont. Un contrôle optimal en boucle ouverte du bruit a ensuite été recherché (AeroTraNet 1). Pour diverses raisons numériques et de pertinence applicative ce travail difficile a finalement été abandonné au profit des projets sur le contrôle en boucle fermée (thèse Nagarajan dans AeroTraNet 1, Cormored, Ecosea). Ainsi l’approche développée non seulement s’est révélée beaucoup moins coûteuse (2 DNS + 1 pour la validation) mais aussi étonnament une grande réussite. Le résultat est l’obtention d’une réduction de bruit significative globale (cf. fig. 7) avec des pics de -9 à -12 dB au voisinage du coin aval (FRAE Ecosea, Airiau et Cordier, 2013). L’efficacité et une certaine robustesse de la loi de contrôle et de la méthodologie sont démontrées par le fait que la réduction des émissions acoustiques perdure sur des temps longs, bien supérieurs à la fenêtre temporelle utilisée pour concevoir la loi (cf. fig. 6). De plus on a montré que l’algorithme global reste efficace en présence de nonlinéarités relativement importante (de l’ordre de 15 % de la vitesse de référence). Le contrôle converge vers une valeur stationnaire qui conduit l’écoulement à un état stationnaire forcé. C’est un résultat potentiellement innovant pour le contrôle actif puisqu’en général on cherche un état stationnaire stable où l’actionneur devrait théoriquement devenir inactif.

Dans le principe, il s’agit de perturber l’écoulement par des forçages connus de faibles ou moyennes amplitudes et à large bande spectrale pour exciter les modes propres principaux. On extrait des modes de forçages et on bâtit un modèle réduit non-linéaire, sur la base des modes POD et d’une projection de Galerkin, d’ordre très faible (4 < n < 8). Après linéarisation et intégration d’un modèle d’entrée-sortie basé sur une estimation stochastique linéaire, une théorie du contrôle est appliquée et par retour la loi de contrôle est intégrée à la simulation DNS. On trouve des modes de forçage, fonction de l’excitation initiale, spatialement situés au coin aval de la cavité, reproduisant correctement la physique de l’écoulement. Par l’utilisation de la théorie linéaire quadratique (contrôle LQR) on trouve une loi par retour de sortie facilement implémentable dans la DNS (Airiau et Cordier, 2013). Pour un contrôle linéaire quadratique gaussien, il faut faire un produit de convolution.

Ce travail va maintenant se poursuivre dans le cadre du projet CARPE financé par le RTRA SPAE (2014), où il s’agit de mener conjointement avec l’ONERA Toulouse, l’ISAE, l’IMT et le LAAS des études théoriques et numériques de loi de feedback robuste et de concevoir des expériences avec différentes vitesses (de 3 à 20m/s) donc avec une variation importante de nombres de Reynolds et avec différents actionneurs (jet synthétiques, plasmas froids). La configuration retenue est le contrôle du sillage d’une plaque épaisse, dont la complexité physique représente un certain challenge.

Lors de l’ANR Cormored, le contrôle feedback avait aussi été mené par J. Calvo-Weller (post-doctorante Cormored), par une collaboration très forte avec l’IMT (J.P. Raymond, M. Fournié, J.M. Buchot). Dans ce travail, le modèle ré- duit était construit à partie de n modes propres globaux stables ou instables de l’écoulement stationnaire autour d’un cylindre. L’approche très efficace permet de stabiliser l’écoulement pour des Reynolds sous critiques, excité par des perturbations d’entrées de fortes amplitudes. Des points théoriques et très mathématiques ont aussi été abordés (soumission à SIAM J. Sc. Computing, juin 2014). Finalement avec l’IMT et l’IMFT a co-organisé une école d’été sur le contrôle des équations de Navier-Stokes en septembre 2012.

D’un point de vue expérimental, le contrôle du décollement a été étudié par micro-actionneur soufflant sur un écoulement de rampe, typique de ce qu’on rencontre en automobile, en collaboration et co-encadrement avec l’équipe de micro-fluidique de l’ICA (thèse de Ghozlani, encadrement A. Kourta).

Nous sortons maintenant d’écoulements avec paroi ou confinés pour se tourner vers des écoulements ouverts de type jet. Le nouveau projet européen Marie Curie AetroTraNet 2, débuté fin 2013 a pour objet d’étudier dans un cadre aéroacoustique (thèse Ansaldi en cours), la sensibilité et le contrôle du bruit émis par un jet turbulent simple puis double flux (cas Airbus). Des travaux assez récents menés de par le monde, et en particulier à l’ONERA de Toulouse ont montré un lien fort entre les émissions acoustiques et les instabilités hydrodynamiques de la ou des couche(s) de cisaillement. Sur ce principe et par les équations de stabilité parabolisées adjointes (Adjoint PSE) la sensibilité d’un jet à des perturbations extérieures est investiguée dans le but d’en retirer une stratégie de contrôle. En particulier des collaborations fortes avec le Cerfacs (partie champ moyen turbulent, thèse de C. Pérez en co-encadrement), l’ONERA Toulouse (partie stabilité PSE) et l’université de Leicester (A. Rona) sont en cours.

Dans une thèse en cotutelle avec A. Bottaro de Gênes, nous avons étudié, en lien avec l’interaction fluide structure, l’optimisation du mouvement d’une aile battante pour produire une force de poussée au lieu de la traînée (probléma- tique du vol des oiseaux ou des mini drones). Divers algorithmes classiques d’optimisation et de calculs de gradients et de sensibilité ont été testés (sans adjoint). Les résultats obtenus étaient relativement conformes à ceux de la littérature en terme de mouvement et de rendement propulsif, mais une interprétation aérodynamique fine basée sur la physique a fait l’originalité de ce travail (Soueid et al, 2009).

La stabilité des écoulements est aussi une activité bien ancrée dans le groupe, et très souvent préablable à toute étude de contrôle.

Ainsi l’étude de la stabilité modale et non modale des jets cylindriques a été initiée en 2010 à travers une collabo- ration avec José Jimenéz et Carlos Martinez-Bazàn, de l’université de Jaén (Espagne) et P. Brancher. L’objectif de ces travaux est d’analyser la compétition entre les modes instables axisymétriques (nombre d’onde azimutal m = 0) et héli- coïdaux (m = 1) en fonction de la raideur du profil de base et du nombre de Reynolds, en tenant compte notamment des effets de croissance transitoire potentiellement actifs. Il a été mis en évidence un mécanisme de croissance spécifique au jet cylindrique, l’effet « shift-up », analogue au mécanisme de « lift-up » observé dans les écoulements cisaillé de paroi. Ce projet a bénéficié du soutien financier de l’université de Jaén qui a permis d’inviter José au laboratoire trois mois fin 2010, trois mois fin 2011 et une semaine en avril 2014 pour finaliser une publication sur le sujet soumise à J. Fluid Mech.

Une autre collaboration a été menée avec Alice Harang et Olivier Thual, du groupe OTE de l’IMFT, sur une étude paramétrique de la stabilité d’un écoulement à deux couches de fluides miscibles de masses volumiques et de viscosités dynamiques différentes. L’objectif est de modéliser la dynamique de la vase et d’améliorer la compréhension de la mise en suspension de la vase au fond des estuaires. Il a en particulier été montré que de forts rapports de viscosité modifiaient les caractéristiques du mode le plus instable ainsi que la localisation de cette instabilité au niveau de l’interface. A terme, cette étude de stabilité est de nature à déboucher sur de nouvelles paramétrisations pour la modélisation réaliste des estuaires. Ce travail a donné lieu à deux publications (Paralia 2010, Env. Fluid Mech. 2014) et un congrès (Int. Symp. on Stratified Flows 2011).

Enfin, l’instabilité modale en présence de paroi élastique a été étudiée pour un écoulement de Couette-Taylor, démontrant l’effet essentiellement stabilisant de l’interaction de l’écoulement fluide avec la structure élastique et la paroi courbée (Guauss et al, 2009, thèse Guauss, collaboration A. Bottaro). Un modèle simple 1D de comportement de paroi a été proposé ainsi qu’une étude originale sur les échanges d’énergie fluide/solide. Des modes complexes instables d’interactions ont aussi été trouvés.

Une dernière action a été menée par C. Cossu sur la transition dans les panaches laminaires en environnement forte- ment stratifié. Dans le cadre d’une collaboration avec l’Université de Cambridge, ont été étudiées les instabilités des panaches de fluide lourd pénétrant par gravité dans un fluide plus léger mais fortement stratifié. Ces instabilités ont été observées expérimentalement à des nombre de Reynolds aussi bas que 0.01 et sont d’intérêt notamment dans des applications de biophysique. Dans le cadre de cette étude, nous avons pu montrer que les termes d’origine barocline sont les seuls à la base de ces instabilités et que des modes globaux instables, issus d’instabilités localement absolues, sont responsables des oscillations observées dans ces jets.

3. Approches asymptotiques dans les écoulements

En général, les méthodes asymptotiques d’analyse des écoulements utilisent la théorie dite de la triple couche. Cette méthode, basée sur des développements réguliers de type Poincaré, nécessite des raccords asymptotiques souvent com- plexes entre les différentes zones de l’écoulement.

L’approche utilisée dans le groupe EMT2, et développée par J. Mauss et J. Cousteix (ONERA), est basée sur des développements asymptotiques généralisés. C’est une approche globale qui suppose a priori une approximation val- able uniformément dans tout le domaine d’écoulement, et qui évite ainsi le processus de construction des raccords asymptotiques. Le modèle asymptotique ainsi obtenu est appelé GIBL pour Global Interactive Boundary Layer. Nous avons en particulier étudié des écoulements internes en canaux dont les parois sont localement (sténoses, anévrismes) ou globalement (coudes) déformées, et pouvant éventuellement générer des zones de recirculation de l’écoulement. Les résultats obtenus ont montré l’excellente concordance entre notre modèle asymptotique GIBL et des simulations Navier-Stokes, y compris dans le cas de présence de zones de recirculation au voisinage des parois (Cathalifaud et al. 2010, 2011, 2013, Zagzoule et al. 2011, 2012, Cathalifaud et Zagzoule 2011).

Cette approche GIBL a aussi été reprise pour le problème de la couche limite turbulente de plaque plane (Aero- TraNet1, thèse Gandhi), avec un gradient de pression favorable ou adverse. En particulier un nouveau modèle de longueur de mélange a été défini à partir d’un paramètre lié au gradient de pression positif ou adverse (Rona et al, 2012). Des comparaisons avec les expériences et les simulations numériques directes ont montré la pertinence de cette modélisation.

4. Structures auto-entrenues non linéaires et localisées et transitions sous critiques

Dans le cadre d’une collaboration avec les collègues astrophysiciens de l’IRAP (Toulouse), de l’Université de Cam- bridge et de l’IPAG (Grenoble), C. Cossu s’est intéressé à l’origine des structures non-linéaires MHD sous-critiques dans le but de mieux comprendre la dynamique des disques d’accrétion. L’évolution de ces structures intervenant en astro- physique est encore mal comprise : l’agrégation centripète de matière, invoquée par exemple pour expliquer l’alimen- tation des trous noirs en gaz interstellaire, peut se réaliser avec des temps caractéristiques raisonnables si l’écoulement dans le disque est turbulent. Or, le critère de Rayleigh prédit que ces disques, qui sont en rotation, sont linéairement stables vis-à-vis de perturbations hydrodynamiques mais instables, pour les fluides conducteurs, vis-à-vis d’instabilités magnéto-rotationnelles. Dans le cadre de la théorie des systèmes chaotiques de basse dimension, les solutions péri- odiques instables jouent un rôle important dans la dynamique moyenne du système. Il a été notamment conjecturé qu’un nombre réduit de ces solutions est nécessaire pour le calcul des propriétés moyennes de l’attracteur étrange. Des solutions périodiques non-linéaires magnéto-hydrodynamiques dans le cas d’écoulements Képleriens ont été cal- culées. En généralisant au cas MHD des techniques numériques récemment employées dans le cas hydrodynamique, des solutions de dynamo non-linéaire périodique (Herault et al. 2011) ont été trouvées. Ces dynamos non-linéaires ne sont pas capturées par les théories de champ moyen qui sont actuellement privilégiées pour l’interprétation des dynamos turbulentes. Ces résultats sont l’analogue MHD des résultats, résumés plus haut, où avait été montré que les structures turbulentes à grande échelle dans les écoulement de paroi ne sont pas issues de l’agrégation de plus petites structures mais peuvent au contraire se maintenir grâce à un mécanisme non-linéaire propre. En un deuxième temps, en suivant les bifurcations de ces, et d’autres solutions de périodique nous avons observés la transition au chaos de ces dynamos non-linéaires, notamment par des bifurcations globales (Riols et al. 2013)

Une collaboration entre A. Bergeon (IMFT-GEMP), E. Knobloch et D. Lo Jacono a été amorcée il y a de cela plusieurs années. L’idée est de comprendre les instabilités (au sens large) notamment leurs origines ainsi que le seuil et les transitions entre deux états : la solution triviale et la solution periodique. La solution periodique est celle que l’on observe généralement soit par le biais d’une analyse linéaire, soit par simulation numérique directe (DNS) quand l’état considéré n’est pas trop loin du seuil. Les résultats récents sur les systèmes dynamiques ont mis en évidence toute une famille de solutions dites localisées qui existeraient (pour des systèmes dissipatifs) lorsqu’une solution est sous-critique. Nous avons commencé notre travail par l’analyse de ces états localisés dans un milieu poreux 2D d’un fluide binaire en convection. Il en resulte un snaking prévu par la théorie des systèmes dynamiques (Lo Jacono et al. 2010). On a ensuite analysé un système avec une quantité conservée par le biais des équations de magnéto-hydrodynamique (MHD). Pour ce fluide la transition entre solution triviale et périodique peut être sous-critique ou super-critique. On a montré que les états localisés se manifestent également pour des transition super-critique avec l’apparition de slanted-snaking (Lo Jacono et al. 2011, Lo Jacono et al. 2012). En parallèle nous avons exploré le caractère tridimensionnel du problème poreux et nous avons mis en évidence pour la première fois des états spatialement localisés 3D (Lo Jacono et al. 2013).