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Analyse linéaire et non-linéaire des perturbations optimales d’un tourbillon en écoulement incompressible

7 novembre 2013

Analyse linéaire et non-linéaire des perturbations optimales d’un
tourbillon en écoulement incompressible

Vendredi 6 décembre à 14h00
Amphithéâtre Nougaro

Sous réserve d’autorisation de soutenance par les rapporteurs

Résumé :

La stabilité d’un tourbillon en écoulement incompressible a été analysée numériquement. L’étude de la stabilité aux temps courts complète les résultats issus de l’analyse classique de stabilité modale. En particulier l’identification des perturbations optimales permet de révéler les mécanismes physiques actifs dans la croissance transitoire de l’énergie des perturbations. Dans un premier temps, une étude de stabilité linéaire incluant une analyse en perturbation optimale a été menée pour une famille de tourbillons écrantés (tourbillons de Carton-McWilliams) `a faibles nombres de Reynolds. L’analyse modale fournit les courbes de stabilité neutre et, pour le cas particulier du tourbillon de Taylor, des croissances transitoires de l’énergie sont observées dans les deux régimes sous-critique et super-critique. L’analyse physique des perturbations optimales révèle des mécanismes de croissance déjà observés dans les tourbillons, ce qui suggère l’universalité des processus d’amplification d’énergie dans les écoulements tourbillonnaires. En dernier lieu les effets de la diffusion de l’écoulement de base sont étudiés. Les résultats montrent qu’aucun nouveau mécanisme n’est introduit et que la diffusion joue le rôle trivial d’un décalage des
échelles spatiales. Enfin on montre que le mode le plus instable de l’analyse modale n’est pas nécessairement le plus dangereux aux temps courts. Pour le tourbillon de Lamb-Oseen, des amplifications transitoires très importantes sont observées tout en étant amorties aux temps longs en régime linéaire, en accord avec les prédictions de la théorie modale. L’analyse de l’évolution temporelle de la perturbation optimale associ´ee au mode de nombre d’onde azimutal m = 2 met en évidence une déformation elliptique du cœur du tourbillon, ce qui suggère une poten tielle transition sous-critique activée par les termes non-linéaires. L’analyse des perturbations optimales bidimensionnelles en régime non-linéaire confirme cette hypothèse : une bifurcation vers un tripôle quasi-stationnaire est observée. Les mécanismes physiques mis en jeu s’inspirent encore de la dynamique optimale linéaire mais les interactions non-linéaires influent significativement sur ces processus et ont été d´evoilées au cours de ce travail. Une exploration des perturbations optimales linéaires du tourbillon dans un champ de déformation conclut l’analyse de stabilité généralisée du tourbillon de Lamb-Oseen.

Linear and nonlinear optimal perturbation analysis of vortices in
incompressible flows

Abstract

A stability analysis of vortices in incompressible flow has been performed numerically. A short- time stability investigation completes the classical modal stability analysis. More particularly, an optimal perturbation approach allows the identification of the physical mechanisms involved in the transient growth of the perturbation energy. Firstly the modal stability analysis and the optimal perturbation analysis in the linear regime have been performed for the Carton-McWilliams vortices, a family of shielded vortices. As a result of the modal theory, the neutral stability curves are computed and, for the particular case of the Taylor vortex, transient growths have been observed in both the subcritical and supercritical regimes. The physical analysis of the optimal perturbations reveals some mechanisms that have already been observed in vortices, which suggests the universality of the optimal amplification processes in vortical flows. Then the effect of a diffusive base flow is discussed. In particular we observe that the diffusion of the base flow plays a trivial role of spatial length rescaling, without introducing any new mecha-nism. Finally we show that the most unstable mode predicted by the modal stability analysis is not necessarily the most dangerous at short-time horizons. For the Lamb-Oseen vortex, in-tense transient energy growths have been observed in the linear regime. Such amplifications are damped in the long-time limit, in agreement with the modal theory prediction. However the time evolution of the optimal perturbation for the m = 2 azimuthal mode shows a temporary elliptical deformation of the vortex core, which suggests a potential subcritical transition activated by the nonlinear terms. Optimal perturbation analysis in the nonlinear regime confirms this scenario : a bifurcation to a quasi-steady rotating tripole is observed. The physical mechanisms at play strongly resemble the linear optimal dynamics but the nonlinear interactions alter significantly these processes and are discussed in the present work. An investigation of the optimal perturbations in the linear regime for the vortex in a weak external strain field completes the generalized stability analysis of the Lamb-Oseen vortex.

Le jury :

Christophe Airiau

Arnaud Antkowiak

Pierre Brancher

François Gallaire

Laurent Joly

Stéphane Le Dizès

Sabine Ortiz